托勒密定理是什么?如何证明？

托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和。

从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．

托勒密证明过程:圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。

设ABCD为圆内接四边形,则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积,即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

托勒密定理是指：在一个四边形中，对角线互相垂直的充要条件是：其对边互相乘积之和等于两条对角线乘积之和。

证明过程如下：

设四边形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，交于点E。

则有：

AE × EC + BE × ED = AC × BD

连接AB、BC、CD、DA四条边，

由于AE × EC = AB × BE - EB × AE，ED × DC = CD × CE - EC × ED，

所以：AE × EC + BE × ED = AB × BE + CD × CE

由于角AED和角CEB互相垂直，所以角AEC和角BED互相补角。

又由于角AEC和角BED互相补角，所以它们的正弦值相等。

即：sin AEC = sin BED

所以：AE / BD = sin BED / sin AEC

同理可得：EC / BD = sin AED / sin BEC

因此：AE × EC / BD² = sin AED / sin BED

代入正弦定理中可得：

sin AED / AD = sin BED / BC

因此：AD / BC = BD / AC

即：AD × AC = BD × BC + CD × AB

这就证明了托勒密定理。